QFunC Mixed Model

Simulation results

Model

\(J\) regions, \(L_j\) voxels in region \(j\), \(M\) time points.

\[ X_{jlm} = \mu_j + \eta_{jm} + \gamma_{j\ell m} + \epsilon_{j\ell m} \]

For a region \(j\),

  • \(\mu_j\) is the overall mean
  • \(\eta_{jm}\) is the common mean-zero signal shared by all voxels
  • \(\gamma_{j\ell m}\) is the spatiotemporal signal across voxels
  • \(\epsilon_{j\ell m}\) is i.i.d. noise

\[ X_{j\ell m} = \mu_j + \eta_{jm} + \gamma_{j\ell m} + \epsilon_{j\ell m} \]

\[\begin{align} \label{eq:SpaTempKern} (C_j)_{ll'} &= K(\big\lVert{v_{j\ell} - v_{j\ell'}}\big\rVert; \nu_j, \phi_j) \nonumber \\ (B_j)_{mm'} &= k_{\gamma_j}H(|m - m'|; \tau_{\gamma_j}) + \sigma^2_{\gamma_j}\delta_{mm'} \nonumber \\ (A)_{mm'} &= H(|m - m'|; \tau_\eta) + \sigma^2_\eta \delta_{mm'} \\ \end{align}\]

\[\begin{align} \quad R &= \begin{pmatrix} 1 & \rho_{12} & \cdots & \rho_{1J} \\ \rho_{12} & 1 & \ddots & \cdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots \\ \rho_{J1} & \vdots & \ddots & 1 \end{pmatrix}, \Omega = SRS, \quad S = \operatorname{diag}(k_{\eta_1}^{1/2}, \dotsc, k_{\eta_J}^{1/2}) \\ \label{eq:varMats} \operatorname{Var}(\epsilon) &= \Sigma_\epsilon := \operatorname{diag}(\sigma^2_{\epsilon_1} I_{ML_1},\dotsc , \sigma^2_{\epsilon_J} I_{ML_J}) \\ \operatorname{Var}(\gamma) &= \Sigma_\epsilon^{1/2}\Lambda \Sigma_\epsilon^{1/2}, \quad \Lambda = \operatorname{diag}(C_1 \otimes B_1,\dotsc, C_J \otimes B_J) \\ \operatorname{Var}(\eta) &= (\tilde{\Sigma}_\epsilon^{1/2}\Omega \tilde{\Sigma}_\epsilon^{1/2})\otimes A \end{align}\]

Stage 1 parameters: \((k_{\gamma_j}, \sigma^2_{\gamma_j}, \tau_{\gamma_j}, \phi_j, \sigma^2_{\epsilon_j})\)

Stage 2 parameters: \((\rho_{jj'}, k_{\eta_j}, k_{\eta_{j'}}, \tau_\eta, \sigma^2_{\eta})\)

Need to choose suitable parameters for our simulations.

Simulation setting

We consider various simulation settings to evaluate the performance of our method.

  • Correct specification
  • Spatial and temporal misspecification

For each simulation setting, we generate data from three regions using real voxel coordinates and \(60\) time points.

The three regions contain \(41\), \(25\), and \(77\) voxels.

Correct specification

delta psi mean median mad rmse sd
0.1 0.2 0.056 0.076 0.399 0.476 0.476
0.1 0.5 0.030 0.039 0.407 0.494 0.491
0.1 0.8 -0.009 -0.015 0.394 0.481 0.471
0.5 0.2 0.106 0.119 0.143 0.186 0.187
0.5 0.5 0.141 0.169 0.203 0.238 0.235
0.5 0.8 0.099 0.128 0.212 0.278 0.279
0.7 0.2 0.106 0.108 0.138 0.168 0.169
0.7 0.5 0.107 0.150 0.155 0.183 0.184
0.7 0.8 0.110 0.113 0.182 0.224 0.225
delta psi mean median mad rmse sd
0.1 0.2 0.297 0.382 0.405 0.489 0.488
0.1 0.5 0.244 0.262 0.367 0.452 0.442
0.1 0.8 0.166 0.175 0.439 0.540 0.510
0.5 0.2 0.347 0.338 0.149 0.182 0.183
0.5 0.5 0.364 0.355 0.147 0.184 0.184
0.5 0.8 0.354 0.359 0.195 0.244 0.246
0.7 0.2 0.339 0.345 0.122 0.156 0.157
0.7 0.5 0.345 0.366 0.120 0.152 0.152
0.7 0.8 0.345 0.358 0.153 0.192 0.193
delta psi mean median mad rmse sd
0.1 0.2 0.480 0.555 0.314 0.424 0.409
0.1 0.5 0.369 0.449 0.343 0.456 0.395
0.1 0.8 0.255 0.242 0.469 0.561 0.445
0.5 0.2 0.592 0.607 0.108 0.138 0.138
0.5 0.5 0.582 0.591 0.150 0.184 0.184
0.5 0.8 0.562 0.570 0.174 0.217 0.215
0.7 0.2 0.597 0.603 0.072 0.091 0.091
0.7 0.5 0.586 0.601 0.110 0.142 0.142
0.7 0.8 0.573 0.581 0.120 0.153 0.152

The average of intra-regional correlations is given by \[ \alpha_j = \frac{1}{L_j^2} \sum_{\ell, \ell'} \operatorname{Cor}(Y_j(v_{j\ell, t_m}), Y_j(v_{j\ell'}, t_m)) \] We can write \[ \alpha_j = \delta_j + (1-\delta_j)\psi_j \] where

  • \(\delta_j = \frac{k_{\eta_j}(1+\sigma^2_\eta)}{k_{\eta_j}(1+\sigma^2_\eta) + (k_{\gamma_j} + \sigma^2_{\gamma_j})}\) is the variance of \(\eta_j\) relative to \(Y_j(v, t)\)
  • \(\psi_j = \frac{1}{L_j^2} \sum_{\ell, \ell'} K(\big\lVert{v_{j\ell} - v_{j\ell'}}\big\rVert; \nu_j, \phi_j)\) is the average intra-regional spatial covariance
  • Large \(\delta_j\) means strong common signal relative to voxel-level signal. Easier to estimate \(\rho\).
  • For fixed \(\delta_j\), larger \(\psi_j\) means stronger spatial signal.

In simulated data, we choose parameters such that \(\delta_j = 0.1, 0.5, 0.7\) and \(\psi_j = 0.2, 0.5, 0.8\).

Misspecification

We consider both temporal and spatial misspecification.

  • Temporal misspecification: \(A\) and \(B_j\)
    • \(AR(2)\) with \(\phi_1 = 0.4\) and \(\phi_2 = 0.3\)
    • Fractional Gaussian noise with \(H = 0.7\)
    • Pass raw signal through wavelet transformation to get 60 coefficients
  • Spatial misspecification: \(C_j\) [Castruccio et al. (2018)]
    • Anisotropic Matérn
    • Partition region \(j\) into two subregions with centroids \(v_{j1}^*, v_{j2}^*\).
    • Consider \(R = \operatorname{diag}(1, 1.2, 1.5)\).
    • \([C_j]_{\ell\ell'} = \sum_{s=1}^2 w_{s\ell} w_{s\ell'} K(\big\lVert{R(v_{j\ell} - v_{j\ell'})}\big\rVert; \nu_j, \phi_j)\)
    • \(w_{sl} = (\big\lVert{v_{j\ell} - v_{js^*}}\big\rVert)^{-1}\) is the inverse distance to the centroid.

Temporal misspecification

delta psi mean median mad rmse sd
0.1 0.2 0.075 0.072 0.338 0.428 0.429
0.1 0.5 0.004 -0.014 0.439 0.532 0.526
0.1 0.8 -0.075 -0.138 0.498 0.585 0.561
0.5 0.2 0.111 0.096 0.146 0.218 0.219
0.5 0.5 0.074 0.088 0.131 0.166 0.165
0.5 0.8 0.063 0.056 0.192 0.249 0.247
0.7 0.2 0.161 0.103 0.203 0.332 0.328
0.7 0.5 0.108 0.095 0.145 0.231 0.232
0.7 0.8 0.108 0.097 0.179 0.277 0.278
delta psi mean median mad rmse sd
0.1 0.2 0.363 0.384 0.278 0.364 0.366
0.1 0.5 0.282 0.355 0.404 0.533 0.531
0.1 0.8 0.189 0.242 0.469 0.579 0.559
0.5 0.2 0.338 0.358 0.120 0.151 0.152
0.5 0.5 0.346 0.341 0.147 0.193 0.194
0.5 0.8 0.374 0.363 0.175 0.242 0.242
0.7 0.2 0.451 0.381 0.205 0.290 0.273
0.7 0.5 0.411 0.372 0.185 0.259 0.253
0.7 0.8 0.380 0.359 0.157 0.219 0.218
delta psi mean median mad rmse sd
0.1 0.2 0.569 0.626 0.282 0.379 0.379
0.1 0.5 0.345 0.461 0.440 0.588 0.532
0.1 0.8 0.164 0.269 0.579 0.739 0.600
0.5 0.2 0.618 0.602 0.108 0.143 0.143
0.5 0.5 0.600 0.610 0.127 0.159 0.160
0.5 0.8 0.647 0.639 0.210 0.258 0.255
0.7 0.2 0.679 0.630 0.148 0.205 0.190
0.7 0.5 0.633 0.621 0.116 0.155 0.153
0.7 0.8 0.636 0.619 0.136 0.175 0.172

Temporal misspecification

delta psi mean median mad rmse sd
0.1 0.2 0.040 0.079 0.381 0.475 0.474
0.1 0.5 -0.018 -0.036 0.484 0.571 0.562
0.1 0.8 -0.044 -0.083 0.521 0.604 0.590
0.5 0.2 0.097 0.076 0.152 0.232 0.234
0.5 0.5 0.072 0.076 0.152 0.194 0.193
0.5 0.8 0.081 0.068 0.236 0.315 0.316
0.7 0.2 0.142 0.095 0.170 0.283 0.281
0.7 0.5 0.086 0.088 0.137 0.202 0.202
0.7 0.8 0.085 0.081 0.158 0.221 0.222
delta psi mean median mad rmse sd
0.1 0.2 0.351 0.406 0.290 0.353 0.355
0.1 0.5 0.285 0.417 0.446 0.557 0.555
0.1 0.8 0.276 0.462 0.504 0.602 0.601
0.5 0.2 0.323 0.318 0.108 0.135 0.133
0.5 0.5 0.316 0.343 0.138 0.208 0.206
0.5 0.8 0.367 0.382 0.176 0.225 0.225
0.7 0.2 0.377 0.340 0.142 0.204 0.203
0.7 0.5 0.329 0.328 0.131 0.209 0.209
0.7 0.8 0.385 0.343 0.160 0.225 0.223
delta psi mean median mad rmse sd
0.1 0.2 0.627 0.631 0.237 0.283 0.284
0.1 0.5 0.421 0.479 0.375 0.499 0.469
0.1 0.8 0.250 0.325 0.504 0.640 0.538
0.5 0.2 0.635 0.631 0.109 0.142 0.138
0.5 0.5 0.619 0.621 0.122 0.151 0.151
0.5 0.8 0.674 0.683 0.193 0.231 0.220
0.7 0.2 0.693 0.654 0.144 0.191 0.168
0.7 0.5 0.638 0.621 0.110 0.146 0.141
0.7 0.8 0.664 0.659 0.142 0.182 0.171

Spatial misspecification

delta psi mean median mad rmse sd
0.1 0.2 0.061 0.048 0.205 0.250 0.248
0.1 0.5 0.077 0.074 0.167 0.208 0.208
0.1 0.8 0.038 0.048 0.164 0.209 0.201
0.5 0.2 0.105 0.108 0.131 0.163 0.164
0.5 0.5 0.103 0.096 0.122 0.152 0.152
0.5 0.8 0.082 0.094 0.126 0.157 0.157
0.7 0.2 0.109 0.127 0.132 0.166 0.166
0.7 0.5 0.113 0.124 0.116 0.146 0.146
0.7 0.8 0.100 0.077 0.133 0.163 0.164
delta psi mean median mad rmse sd
0.1 0.2 0.191 0.227 0.239 0.309 0.266
0.1 0.5 0.118 0.104 0.256 0.309 0.206
0.1 0.8 0.071 0.098 0.287 0.348 0.209
0.5 0.2 0.290 0.305 0.136 0.169 0.158
0.5 0.5 0.271 0.291 0.122 0.163 0.144
0.5 0.8 0.251 0.250 0.148 0.186 0.158
0.7 0.2 0.313 0.332 0.103 0.137 0.132
0.7 0.5 0.305 0.329 0.099 0.132 0.125
0.7 0.8 0.297 0.301 0.109 0.141 0.131
delta psi mean median mad rmse sd
0.1 0.2 0.274 0.314 0.338 0.420 0.265
0.1 0.5 0.160 0.168 0.442 0.474 0.177
0.1 0.8 0.104 0.086 0.497 0.532 0.192
0.5 0.2 0.503 0.517 0.131 0.175 0.146
0.5 0.5 0.423 0.433 0.183 0.224 0.138
0.5 0.8 0.371 0.390 0.232 0.269 0.143
0.7 0.2 0.543 0.555 0.098 0.128 0.115
0.7 0.5 0.496 0.512 0.115 0.151 0.111
0.7 0.8 0.467 0.470 0.143 0.178 0.119